等比数列{an}单调递增，且满足：a1+a6=33，a3a4=32．求数列{an}的通项公式；数列{bn}满足：b1=1且n≥2时，a2，abn，a

题文

等比数列{a_n}单调递增，且满足：a₁+a₆=33，a₃a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：b₁=1且n≥2时，a2，abn，a2n-2成等比数列，T_n为{b_n}前n项和，cn=Tn+1Tn+TnTn+1，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，数列{a_n}单增，所以，a1+a6=33a1a6=a3a4=32⇒a1=1a6=32
∴q=2，∴a_n=2^n-1；
（2）由题，abn2=a2a2n-2⇒(2bn-1)2=2•22n-3⇒2(bn-1)=2n-2⇒bn=n
∴Tn=n(n+1)2
∴cn=n+2n+nn+2=1+2n+1-2n+2=2+2(1n-1n+2)
当n≥2时，c1+c2++cn=2n+2(1+12-1n+1-1n+2)0＜1+12-1n+1-1n+2＜32
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3
当n=1时，2＜c1=3+13＜5
所以对任意的n∈N^*，2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3．

解析

a1+a6=33a1a6=a3a4=32

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}单调递增，且满足：a1+.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。