已知等比数列{an}满足a3=12，a8=38，数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+．求数列{an}的通项an；（

题文

已知等比数列{a_n}满足a3=12，a8=38，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3…）．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项b_n；
（Ⅲ）若cn=an+bnn，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为{a_n}是等比数列，设首项为a₁和公比q，由已知得出a1q2=12a1q7=38，两式相除得出q⁵=132，
∴q=12，从而a₁=48．通项公式a_n=48×(12)n-1
（Ⅱ）b_n+1=b_n+（2n-1）变形为b_n+1-b_n=2n-1，
当n≥2时，b_n=b₁+（ b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…（b_n-b_n-1）
=-1+1+3+…+（2n-3）
=-1+[1+(2n-3)](n-1)2
=-1+（n-1）²
=n²-2n
当n=1时，b₁=-1，也满足．
所以数列{b_n}的通项，b_n=n²-2n
（Ⅲ）cn=an+bnn=48×(12)n-1+（n-2）
T_n=48×1-(12)n1-12+[-1+(n-2)]•n2
=96×[1-(12)n]+n2-3n2

解析

a1q2=12a1q7=38

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}满足a3=12，a8.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。