已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的中心在原点，右顶点为A，其离心率与双曲线y23-x2=1的离心率互为倒数．求椭圆的方程；设过

题文

已知椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a＞b＞0)的中心在原点，右顶点为A（2，0），其离心率与双曲线y2 3-x2 =1的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2 的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）双曲线y2 3-x2 =1的离心率e=23，∴椭圆的离心率为32
∵椭圆的长半轴长为a=2，ca=32，∴c=3
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为x24+y2=1；…（5分）
（2）由椭圆，设直线方程为y=kx+1，联立x24+y2=1y=kx+1，可得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-8k1+4k2，所以yD=1-4k21+4k2，…（8分）
依题意k≠0，k≠±12．
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
当y_D＞0时，y_D²-y_D+1=0，无解，…（11分）
当y_D＜0时，y_D²-y_D-1=0，解得yD=1+52或yD=1+52（舍去），…（10分）
所以1-4k21+4k2=1+52，解得k2=2+54…（12分）

解析

y2 3

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。