已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3=4，且a4，a5+4，a6成等差数列．求数列{an}的通项公式；设数列{an}的前n项和为Sn，求2an

题文

已知在公比为实数的等比数列{a_n}中，a₃=4，且a₄，a₅+4，a₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求2an+1Sn的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q（q∈R），依题意可得2（a₅+4）=a₄+a₆，（2分）
即2（4q²+4）=4q+4q³，整理得，（q²+1）（q-2）=0（4分）
∵q∈R，∴q=2，a₁=1．∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1∴2an+1Sn=2n+12n-1=1+22n-1（10分）
∵n≥1，∴2ⁿ-1≥1，∴1+22n-1≤3，
∴当n=1时，2an+1Sn有最大值3．（12分）

解析

2an+1Sn

考点

据考高分专家说，试题“已知在公比为实数的等比数列{an}中，a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。