已知函数f(x)(x∈R，x≠1a)满足ax-f=2bx+f，a≠0，f=1；且使f=2x成立的实数x只有一个．求函数f的表

题文

已知函数f(x)(x∈R，x≠1a)满足ax-f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列a_n满足a1=23，an+1=f(an)，bn=1an-1，n∈N+，证明数列b_n是等比数列，并求出b_n的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1，n∈N⁺． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由ax-f（x）=2bx+f（x），（其中x≠1a，a≠0），得f（x）=2bxax-1；
由f（1）=1，得a=2b+1①；
又f（x）=2x只有一解，即2bxax-1=2x，也就是2ax²-2（1+b）x=0（其中a≠0）只有一解，
∴4（1+b）²-4×2a×0=0，∴b=-1；
代入①，得a=-1；故f（x）=2xx+1．
（Ⅱ）∵a₁=23，a_n+1=f（a_n），∴a_n+1=2anan+1，即1an+1=an+12an；∴1an+1-1=12(1an-1)，
∴数列{1an+1-1}是以1a1-1=12为首项，12为公比的等比数列；∴a_n=2n2n+1；
∵b_n=1an-1=2n +12n-1=12n（n∈N^*），∴bn+1bn=12（n∈N^*）；
∴{b_n}是首项为12，公比为12的等比数列，其通项公式为：b_n=12n．
（Ⅲ）∵a_nb_n=a_n（1an-1）=1-a_n=1-2n2n+1=12n+1，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=121+1+122+1+…+12n+1＜121+122+…+12n=12(1-12n)1-12=1-12n＜1（n∈N^*），即证．

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)(x∈R，x≠1a)满足.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。