已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n-c．求c的值并求数列{an}的通项公式；若bn=n•an，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n-c．
（1）求c的值并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等比数列{an}的前n项和为Sn=2n-c，
∴a₁=S₁=2-c，
a₂=S₂-S₁=（4-c）-（2-c）=2，
a₃=S₃-S₂=（8-c）-（4-c）=4，
∵{a_n}是等比数列，
∴a22=a1•a3，即2²=（2-c）×4，
解得c=1．
∵q=a3a2=42=2．a₁=2-1=1，
∴a_n=2^n-1．
（2）∵an=2n-1，
∴b_n=n•a_n=n•2^n-1，
∴T_n=1+2•2+3•2ⁿ+…+n•2^n-1，①
∴2T_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=1-2n1-2-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

解析

a3a2

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。