已知数列{an}中，a1=1，an=2nn-1an-1+n．且bn=ann+λ为等比数列，求实数λ及数列{bn}、{an}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2nn-1a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）．且b_n=ann+λ为等比数列，
（Ⅰ）求实数λ及数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n为{a_n}的前n项和，求S_n；
（Ⅲ）令c_n=bn(bn-1)2，数列{c_n}前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n≥2，n∈N^*时，an=2nn-1an-1+n，
∴ann=2an-1n-1+1，即ann+1=2(an-1n-1+1)，故λ=1时
有b_n=2b_n-1，而b1=a11+1=2≠0
b_n=2•2^n-1=2ⁿ，从而a_n=n•2ⁿ-n
（Ⅱ）S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ-（1+2+…+n）
记R_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
则2R_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ+1
相减得：-R_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2(1-2n)1-2-n•2n+1
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-n2+n-42
（Ⅲ）cn=2n(2n-1)2＜2n(2n-1)(2n-2)2
=2n-1(2n-1)(2n-1-1)2=12n-1-1-12n-1(n≥2)
n≥2时，Tn＜2121-1+12-1-122-1+…+12n-1-1-12n-1(n≥2)
=2+1-12n-1＜3
而T₁=22-1=2＜3
∵∀n∈N^*，7_n＜3．

解析

2nn-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，an=2n.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。