已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3求出数列{an}的通项公式；若对任意正整数n，k≤Sn恒成立，求实

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n为正整数）
（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵3a_n+1+2S_n，①
∴当n≥2时，3a_n+2S_n-1=3．②
由 ①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0．
∴an+1an=13，n≥2．
又∵a₁=1，3a₂+2a₁=3，解得 a2=13．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为q=13的等比数列．
∴an=a1qn-1=(13)n-1，（n为正整数）．…（7分）
（Ⅱ）∵数列{a_n}是首项为1，公比为q=13的等比数列，
∴Sn=1×(1-13 n)1-13=32(1-13 n)，
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤32(1-13 n)，
∵数列{1-13 n}单调递增，当n=1时，数列中的最小项为23，即32(1-13 n)≥1
∴必有k≤1，即实数k的最大值为1．…（14分）

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。