数列{an}是公比大于1的等比数列，a2=6，S3=26．求数列{an}的通项公式；在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等

题文

数列{a_n}是公比大于1的等比数列，a₂=6，S₃=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列．设第n个等差数列的前n项和是A_n．求关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设公比为q，由，a₂=6，S₃=26 可得 6q+6+6q=20，解得q=3，或 q=13，再由q＞1可得q=3，∴a₁=2，a_n=2×3^n-1．
（2）由等差数列的通项公式可得 2×3ⁿ=2×3^n-1+（n+1）•d_n，∴d_n=4×3 n-1n+1，
∴A_n=n 2×3^n-1+n(n-1)2•4×3 n-1n+1=4• n2•3 n-1n+1．
∵A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立，∴g（n）=n²．
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中若存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，
则有 dk2=d_m•d_p，即 (4×3 k-1n+1)2=4×3 m-1m+1•4×3 p-1p+1，再由 2k=mp，解得 m=k=p，
这与d_m，d_k，d_p是不同的三项相矛盾，故不存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列．

解析

6q

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}是公比大于1的等比数列，a2.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。