已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=(1+2|cosnπ2|)an+|sinnπ2|，n∈N*，求a3，a4；求a2k，a2k-1（

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cosnπ2|)an+|sinnπ2|，n∈N*，
（Ⅰ）求a₃，a₄；
（Ⅱ）求a_2k，a_2k-1（k∈N⁺）；
（Ⅲ）设b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2a2k-1（λ为非零整数），试确定λ的值，使得对任意（k∈N⁺）都有b_k+1＞b_k成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且an+2=(1+2|cosnπ2|)an+|sinnπ2|，n∈N*，
a3=(1+2|cosπ2|)a1+|sinπ2|=a1+1=2，
a4=(1+2|cos2π2|)a2+|sin2π2|=3a2=9，…（2分）
（Ⅱ）①设n=2k，k∈N^*，
∵an+2=(1+2|cosnπ2|)an+|sinnπ2|，n∈N*，
又a₂=3，
∴a2k+2a2k=3．
∴当k∈N^*时，数列{a_2k}为等比数列．
∴a_2k=a₂•3^k-1=3^k．
②设n=2k-1，k∈N^*．…（5分）
由a2k+1=(1+2|cos(2k-1)π2|)a2k-1+|sin(2k-1)π2|=a2k-1+1，
∴a_2k+1-a_2k-1=1．
∴当k∈N^*时，数列{a_2k-1}为等差数列．
∴a_2k-1=a₁+（k-1）•1=k．…（8分）
（Ⅲ）b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2^k-1=3^k+（-1）^k-1λ•2^k
∴b_k+1-b_k=3^k+1+（-1）^kλ•2^k+1-3^k-（-1）^k-1λ•2^k
=2•3^k+（-1）^kλ（2^k+1+2^k）
=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k．
由题意，对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立，
∴b_k+1-b_k=2•3^k+（-1）^kλ•3•2^k＞0对任意k∈N^*恒成立，
∴2•3^k＞（-1）^k-1λ•3•2^k对任意k∈N^*恒成立．
①当k为奇数时，2  •  3k＞λ  •  3  •  2k⇒λ＜2  •  3k3  •  2k=23  •  (32)k对任意k∈N^*恒成立．
∵k∈N^*，且k为奇数，
∴23  •  (32)k≥23  •  32=1．
∴λ＜1．
②当k为偶数时，2  •  3k＞-λ  •  3  •  2k⇒λ＞-2  •  3k3  •  2k=-23  •  (32)k对任意k∈N^*恒成立．
∵k∈N^*，且k为偶数，
∴-23  •  (32)k≤-23  •  (32)2=-32．∴λ＞-32．
综上，有-32＜λ＜1．
∵λ为非零整数，∴λ=-1．…（14分）

解析

nπ2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=3，.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。