已知递增的等比数列{an}的前三项之积是64，且a2-1，a3-3，a4-9成等差数列．求数列{an}的通项公式an；设bn=n•an，求数列{bn

题文

已知递增的等比数列{a_n}的前三项之积是64，且a₂-1，a₃-3，a₄-9成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设公比为q
由题意得：a₂=4，
∵2（a₃-3）=a₂-1+a₄-9，∴2（4q-3）=3+4q²-9，解得：q=2
∴a_n=2ⁿ
（2）∵S_n=b₁+b₂+…+b_n
=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
两式相减得，S_n=-2-2²-2³-…-2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹=-2(1-2n)1-2+n×2n+1=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2

解析

-2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知递增的等比数列{an}的前三项之积是.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。