已知{an}是等差数列，其公差d≠0，且a2是a1与a4的等比中项．求a1与d的关系式；若{an}的部分项依次组成的数列ak1，ak2，ak3，…，

题文

已知{a_n}是等差数列，其公差d≠0，且a₂是a₁与a₄的等比中项．（1）求a₁与d的关系式；（2）若{a_n}的部分项依次组成的数列ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列，其中k₁=1，k₂=3，试求数列{k_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）
（1）依题设a_n=a₁+（n-1）d，a₂²=a₁a₄，得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），即a₁d=d²，∵d≠0，∴a₁=d；     （4分）
（2）由（1）得a_n=nd，联系已知得k₁d，k₂d，k₃d，…，k_nd，…是等比数列．（7分）
由d≠0，知k₁，k₃，k₃，…，k_nd，…，即1，3，k₃，…，k_nd，…也是等比数列，（10分）
其首项为1，公比为q=31=3，（12分）
∴数列{k_n}的通项公式为k_n=3^n-1．（14分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是等差数列，其公差d≠0，且.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。