若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，则S1，S2，S4成等比数列．求数列S1，S2，S4的公比；若S2=4，求{an}的通项公式；

题文

若S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，则S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，求{a_n}的通项公式；
（3）在（2）条件下，若b_n=a_n-14，求{|b_n|}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S22=S₁S₄得出（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），化为d=2a₁．
得S2S1=2a1+da1=4，
∴数列S₁，S₂，S₄的分比为4．
（2）由S₂=4=2a₁+d=4a₁得出a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（3）由（2）可得b_n=2n-1-14=2n-15．
令b_n=2n-15＞0，
得n＞152，
∴当n≤7时，T_n=-[（2-15）+（4-15）+…+（2n-15）]=-（2×n(n+1)2-15n）=14n-n²；
当n≥8时，T_n=-b₁-b₂-…-b₇+b₈+…+bn
=b₁+b₂+…+b_n-2（b₁+b₂+…+b₇）
=n(-13+2n-15)2+2T₇
=n²-14n+98．
∴Tn=14n-n2，n≤7n2-14n+98，n≥8．

解析

S22

考点

据考高分专家说，试题“若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。