已知函数f=ax+b，当x∈[a1，b1]时值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时值域为[a3，b3]，当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，

题文

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时值域为[a₃，b₃]，当x∈[a_n-1，b_n-1]时值域为[a_n，b_n]…其中a、b为常数，a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，b=2，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＞0，设数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求T_n-S_n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
∵函数f（x）单调递增，且当x∈[a_n-1，b_n-1]时值域为[a_n，b_n]．
∴当n≥2时，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+2，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+2，
又a₁=0，b₁=1，
∴a_n=0+（n-1）×2=2n-2，b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
即a_n=2n-2，b_n=2n-1．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，∴当n≥2时，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，（*）
当b_n=b_n-1时，b_n=1，b=1-a，
因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
设数列{b_n}的公比为q，又b₁=1，对于（*）分别取n=2，3可得q=a+bq2=aq+b
化为b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
故当b=0时数列{b_n}是公比不为1的等比数列．
因此b=0．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，
∴当n≥2时，a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，
①当a=1时，a_n=0+（n-1）•b，b_n=1+（n-1）b，
∴T_n-S_n=1+1+…+1=n．
②当a≠1时，由an+ba-1=a(an-1+ba-1)，bn+ba-1=a(bn-1+ba-1)，
可得an+ba-1=ba-1•an-1，bn+ba-1=(1+ba-1)•an-1，
∴可得bn-an=an-1，
∴T_n-S_n=1+a+a²+…+a^n-1=an-1a-1．
综上可知：当a=1时，T_n-S_n=n；
当a≠1时，T_n-S_n=an-1a-1．

解析

q=a+bq2=aq+b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。