已知数列{an}为递增的等比数列，其中a2=9，a1+a3=30．求数列{an}的通项公式；若bn=2an+1，求数列{bn}的前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}为递增的等比数列，其中a₂=9，a₁+a₃=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列的公比为q
又由已知  a₂=9，a₁+a₃=30
可得 9q+9q=30，解得q=3或q=13
由已知，数列为递增数列，所以可知q=3
即 an=a2qn-2=9×3n-2=3n
（2）∵b_n=2a_n+1=2•3ⁿ+1
∴sn=(2•3+1)+(2•32+1)+…+(2•3n+1)
=2（3+3²+…+3ⁿ）+n
=2×3(1-3n)1-3+n
=3ⁿ⁺¹+n-3
∴数列{b_n}的前n项和S_n为3ⁿ⁺¹+n-3

解析

9q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为递增的等比数列，其中a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。