数列{an}中a1=2，an+1=12(an+1an)，{bn}中bn•log9an+1an-1=1，n∈N*．求证：数列{bn}为等比数列，并求出其通项公式；

题文

数列{a_n}中a₁=2，an+1=12(an+1an)，{b_n}中bn • log9an+1an-1=1，n∈N*．求证：数列{b_n}为等比数列，并求出其通项公式； 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：由bn+1 • log9an+1+1an+1-1=1⇒bn+1 • log912(an+1an)+112(an+1an)-1=1⇒bn+1 • log9(an+1an-1)2=1⇒2bn+1 • log9an+1an-1=1又bn • log9an+1an-1=1
∴bn+1=12bn
又n=1时，b1 • log9a1+1a1-1=1⇒b1=2
∴{b_n}为等比数列，b₁=2，q=12，∴bn=2 • (12)n-1=(12)n-2

解析

an+1+1an+1-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中a1=2，an+1=12(.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。