已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Snan-1=qq-1．求数列{an}的通项公式；当q=14时，试证明S

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足Snan-1=qq-1（g是常数，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当q=14时，试证明Sn＜13；
（Ⅲ）设函数．f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），使1b1+1b2+…+1bn≥m3对n∈N^*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=qq-1(an-1)-qq-1（a_n-1-1），∴anan-1=q，又由S₁=a₁=qq-1（a₁-1）得a₁=q，∴数列a_n是首项a₁=q、公比为q的等比数列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ
（II）a1+a2+…+an=14[1-(14)n]1-14=13(1-14n)＜13
（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=logqq1+2+n=n(n+1)2
∴1b1+1b2++1bn=2(1-12+12-13+1n-1n+1)，∴2(1-1n+1)≥m3即m≤6(1-1n+1)
∵n=1时，[6(1-1n+1)]min=3，∴m≤3，∵m是正整数，∴m的值为1，2，3

解析

qq-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn和通项an.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。