已知等比数列{an}中，a2=2，a5=128．求通项an；若bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求满足不等式Sn＜2012的n的最大

题文

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．
（1）求通项a_n；
（2）若b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足不等式S_n＜2012的n的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=128
∴a1q=2a1q4=128，解得a1=12q=4．
于是an=a1qn-1= 12×4n-1=22n-3；
（2）因为an=22n-3，
由b_n=log₂a_n，可得bn=log2an=log222n-3=2n-3．
所以b_n-b_n-1=（2n-3）-[2（n-1）-3]=2．
所以数列{b_n}是一个以-1为首项，2为公差的等差数列．  
于是Sn=-n+n(n-1)2×2=n2-2n．
因为S_n＜2012，即n²-2n＜2012，即n²-2n-2012＜0
解得2-4+4×20122＜n＜2+4+4×20122，即1-2013＜n＜1+2013．
经过估算，得到n的最大值为45．

解析

a1q=2a1q4=128

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}中，a2=2，a5=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。