已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，数列{Sn+1}是公比为2的等比数列．求数列{an}的通项公式；数列{Sn}中是否存在不同的三项Sm

题文

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{S_n}中是否存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组m，n，k的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）S₁=a₁=1，S₁+1=a₁+1=2．
因为数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，所以Sn+1=(S1+1)•2n-1=2•2n-1=2n．
故Sn=2n-1．…（3分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1，
当n=1时，经检验，an=2n-1也成立，
故an=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）数列{S_n}中不存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列．…（7分）
理由如下：假设{S_n}中存在等差数列S_m，S_n，S_k，不失一般性，不妨设S_m＜S_n＜S_k，即m＜n＜k，
则2S_n=S_m+S_k，…（9分）
由（I），Sn=2n-1，Sm=2m-1，Sk=2k-1．
故2•2ⁿ-2=2^m-1+2^k-1，即2ⁿ⁺¹=2^m+2^k，即2^n+1-m=1+2^k-m，
由m＜n＜k知，上式左边为偶数，右边为奇数，不可能相等．…（11分）
故假设错误，从而数列{S_n}中不存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列．…（12分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=1，前n项和.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。