已知数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n•2n，记所有可能的乘积aiaj的和为Tn．求{an}的通项公

题文

已知数列{a_n}满足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，记所有可能的乘积a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和为T_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求T_n的表达式；
（3）求证：n-14＜T1T2+T2T3+T3T4+…+TnTn+1＜n4． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}满足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，
∴a12+a222+a323+…+an2n=n，
当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，a12+a222+a323+…+an2n=n，
a12+a22 2+a323+…+an-12n-1=n-1，
两式相减，得an2n=1，
∴an=2n．
（2）∵a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和为T_n，
∴T_n=a₁a₁+（a₁a₂+a₂a₂）+（a₁a₃+a₂a₃+a₃a₃）+…+（a₁a_n+a₂a_n+a₃a_n+…+a_na_n）
=（2³-2²）+（2⁵-2³）+（2⁷-2⁴）+…+（2²ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹）
=23-22n+31-4-（2ⁿ⁺²-4）
=43(2n+1-1)(2n-1)．
（3）∵TnTn+1=43(2n+1-1)(2n-1)43(2n+2-1)(2n+1-1)
=2n-12n+2-1
=2n-14(2n-1)+3＜14，
∴T1T2+T2T3+T3T4+…+TnTn+1＜14+14+14+…+14=n4，
∵TnTn+1=2n-12n+2-1=14-34•12n+2-1
=14-34•13•2n+2n-1
＞14-34•13•2n
=14-12 n+2，
∴T1T2+T2T3+T3T4+…+TnTn+1＞（14-12 3）+（14-12 4）+…+（14-12 n+2）
=n4-(12 3+12 4+… +12 n+2)
=n4-(14-12 n+2)＞n-14，
∴n-14＜T1T2+T2T3+T3T4+…+TnTn+1＜n4．

解析

a12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足2n-1a1+2n-.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。