在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a3=4，前三项的和为28．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足：bn=log2an，b1+b2+…

题文

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，已知a₃=4，前三项的和为28．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b_n=log₂a_n，b₁+b₂+…+b_n=S_n，求S11+S22+…+Snn取最大时n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设公比为q，则有a₃=4，前三项的和为28，
知a1q2=4a 1(1-q3)1-q=28，
解得a1=16，q=12，或a1=36，q=-13．
∵等比数列{a_n}各项都为正数，
∴a1=36，q=-13不合题意，舍去．
∴a1=16，q=12，
an=16×(12)n-1=32×(12)n．
（Ⅱ）∵an=32×(12)n，
∴b_n=log₂a_n=log2[32×(12)n ]=5-n．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=4+3+2+…+（5-n）
=n(9-n)2．
∴Snn=9-n2，
∴S11+S22+…+Snn=9-12+9-22+…+9-n2
=9n2-n(n+1)2
=-（12n2-4n）
=-12(n-4)2+8．
∴n=4时，S11+S22+…+Snn取最大值8．

解析

a1q2=4a 1(1-q3)1-q=28

考点

据考高分专家说，试题“在各项都为正数的等比数列{an}中，已知.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。