已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k，且a2=4，a6=8a3．求an；求数列{nan}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=kcⁿ-k（其中c，k为常数），且a₂=4，a₆=8a₃．
（1）求a_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=kcⁿ-k，得a_n=s_n-s_n-1=kcⁿ-kc^n-1；   （n≥2），
由a₂=4，a₆=8a₃．得kc（c-1）=4，kc⁵（c-1）=8kc²（c-1），解得c=2k=2；
所以a₁=s₁=2；
a_n=s_n-s_n-1=kcⁿ-kc^n-1=2ⁿ，（n≥2），
于是a_n=2ⁿ．
（2）：∵na_n=n•2ⁿ；
∴T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ；
  2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹；
∴-T_n=2+2²+2³…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2(1-2n)1-2-n•2ⁿ⁺¹=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹；
即：T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

解析

c=2k=2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。