已知数列{an}的前n项和Sn与an满足Sn=1-an．求数列{an}的通项公式；求数列{nan}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n与a_n满足S_n=1-a_n（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S₁=1-a₁得：a₁=1-a₁，解得：a₁=12．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n-（1-a_n-1），
化简得：2a_n=a_n-1，故anan-1=12．
所以，a_n=12×(12)n-1=12n．
（2）由题意得：T_n=1×12+2×122+…+n×12n      ①
∴12T_n=1×122+2×123+…+（n-1）×12n+n×12n+1     ②
①-②得：12T_n=12+122+123+…+12n-n×12n+1 
=12×(1-12n)1-12-n•12n+1
=1-12n-n•12n+1，
∴T_n=2-2+n2n=2n+1-n-22n．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn与an满足.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。