已知等比数列{an}，Sn是其前n项的和，且a1+a3=5，S4=15．求数列{an}的通项公式；设bn=52+log2an，求数列{bn}的前n

题文

已知等比数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=52+log2an，求数列{b_n}的前n项和T_n
（III）比较（II）中T_n与12n3+2（n=1，2，3…）的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设数列{a_n}的公比为q，则
方法一：a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10（2分）
∴q=2，a₁=1，则a_n=2^n-1（4分）
方法二：易知q≠1，则a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5S4=a1(1-q4)1-q=a1(1-q)(1+q)(1+q2)1-q=a1(1+q)(1+q2)=15，
则1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，bn=52+log22n-1=52+(n-1)=n+32，
所以数列{b_n}是一个以52为首项，1为公差的等差数列（5分）
∴Tn=n(b1+bn)2(6分)
=n(52+n+32)2=n(n+4)2(9分)
（III）∵(12n3+2)-Tn=12(n3-n2-4n+4)=12(n-1)(n-2)(n+2)（11分）
∴当n=1、2时，12(n-1)(n-2)(n+2)=0，即T_n=12n3+2（12分）
当n≥3时，12(n-1)(n-2)(n+2)＞0，即T_n＜12n3+2（14分）

解析

a1(1-q4)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}，Sn是其前n项的和.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。