已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2•a4=a6，2a3+1a4=1a5．求数列{an}的通项公式an；设数列{an}的前n项和为Sn，前n项

题文

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₂•a₄=a₆，2a3+1a4=1a5．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项积为T_n，求所有的正整数k，使得对任意的n∈N^*，不等式S_n+K+Tn4＜1恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 设等比数列{a_n}的首项为a₁＞0，公比为q＞0，
∵a₂•a₄=a₆，2a3+1a4=1a5，
∴a1q•a1q3=a1q52a1q2+1a1q3=1a1q4，
解得a1=q=12，
∴an=12n．
（Ⅱ）∵an=12n，
∴Sn=12+122+…+12n=12×(1-12n)1-12=1-12n，
Tn=12×122×…×12n=(12)n(n+1)2，
若存在正整数k，使得不等式Sn+k+Tn4＜1对任意的n∈N^*都成立，
则1-12n+k+(12)n(n+1)2+2＜1，即k＜12[(n-12)2+154]，
∵只有当n=1时，12[(n-12)2+154]取得最小值2，满足题意．
∴k＜2，正整数k只有取k=1．

解析

2a3

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的等比数列{an}满足a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。