已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=3n+k．求k的值及数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足an+12=(4+k)anbn，求数

题文

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3ⁿ+k．
（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足an+12=(4+k)anbn，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）当n≥2时由an=Sn-Sn-1=3n+k-3n-1-k=2•3n-1…（2分）
∵a₁=S₁=3+k，
∴k=-1，…（4分）
（2）由an+12=(4+k)anbn，可得bn=n2•3n-1，
bn=32•n3n，…（6分）
∴Tn=32(13+232+333+…+n3n)…（7分）
13Tn=32(132+233+334+…+n3n+1)…（9分）
两式相减可得，23Tn=32（13+132+133+…+13n-n3n+1）
=32×[13(1-13n)1-13-n3n+1]
=32×[1-13n2-n3n+1]…（10分）
               
∴Tn=94(12-12•3n-n3n+1)…（12分）

解析

an+12

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。