已知函数f是一次函数，且f=15，f，f，f成等比数列，设an=f，求数列{an}的前n项和Tn；

题文

已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=15，f（2），f（5），f（14）成等比数列，设a_n=f（n），（n∈N•）
（1）求数列{a_n}的前n项和T_n；
（2）设bn=2n，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15，8a+b=15，----------①，
由f（2），f（5），f（14）成等比数列可得
f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）⇒3a²+6ab=0，
∵a≠0∴a=-2b------②
由①②得a=2，b=-1，
∴f（x）=2x-1．
∴a_n=2n-1，
因此数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列．
∴T_n=a1+a2+…+an=n(1+2n-1)2=n2．
（2）∵anbn=(2n-1)•2n
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2S_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

解析

n(1+2n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是一次函数，且f（8）=.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。