已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．求数列{an}的通项

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

（n∈N*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有

总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，
整理得2a₁d=d²，
∵a₁=1，解得：d=0（舍），d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N*）．
（Ⅱ）

，
∴




，
假设存在整数t满足

总成立，
又

，
∴数列{S_n}是单调递增的，
∴S₁=

为S_n的最小值，故

，即t＜9，
∵t∈N*，
∴适合条件的t的最大值为8。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：