已知函数f(x)=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f(x)的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f(x)的值域为[a3，b3]，依次类推

题文

已知函数f(x)=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f(x)的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f(x)的值域为[a₃，b₃]，依次类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f(x)的值域为[a_n，b_n]，其中k，m为常数，且a₁=0，b₁=1，
(Ⅰ)若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(Ⅱ)若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足

？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
( Ⅲ)若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求(T₁+T₂+…+ T₂₀₁₀)-(S₁+S₂+…+S₂₀₁₀)。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)因为f(x)=x+m，
当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f(x)为单调增函数，所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]，
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m(n∈N*，n≥2)，
又a₁=0，b₁=1，
所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m。 
(Ⅱ)因为f(x)=kx+m(k＞0)，
当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f(x)为单调增函数，
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，
因m=2，则b_n= kb_n-1+2(n≥2)，
假设存在k＞0，使得数列{b_n}满足

，
则

，得4=4k+2，则

符合。
(Ⅲ)因为k＜0，x∈[a_n-1，b_n-1]时，f(x)为单调减函数，
所以f(x)的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]，
于是a_n=kb_n-1+m，bn=ka_n-1+m（n∈N*，n≥2)，
则b_n-a_n=-k(b_n-1-a_n-1)，
又

，
则有

，
进而有




。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=kx+m，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：