数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+sin2，n=1，2，3，…。求a3，a4并求数列{an}的通项公式；

题文

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

）a_n+sin²

，n=1，2，3，…。
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，证明：当n≥6时，|S_n-2|＜

。

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为


所以





一般地当

时，

=


即


所以数列

是首项为1、公差为1的等差数列，因此


当

时，


所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此


故数列

的通项公式为

；
（2）由（1）知



 ①


 ②
①-②得，





所以


要证明当

时，

成立，只需证明当

时，

成立
①当n=6时，

成立
②假设当

时不等式成立，即


则当n=k+1时，


由①②所述，当n≥6时，


即当n≥6时，

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：