已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上。求数列｛an｝的通项公式；若列数｛bn

题文

已知｛a_n｝是正数组成的数列，a₁=1，且点（

，a_n+1）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上。
（1）求数列｛a_n｝的通项公式；
（2）若列数｛b_n｝满足b₁=1，b_n+1=b_n+

，求证b_n·b_n+2＜b_n+1²。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知得a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
又a₁=1
所以数列｛a_n｝是以1为首项，公差为1的等差数列
故a_n=1+（a-1）×1=n。
 （2）由（1）知：a_n=n从而b_n+1-b_n=2ⁿ
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+···+（b₂-b₁）+b₁=2^n-1+2^n-2+···+2+1
=

=2ⁿ-1
因为

=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=（2²ⁿ⁺²-2ⁿ-2ⁿ⁺²+1）-（2²ⁿ⁺²-2·2ⁿ⁺¹+1）=-2ⁿ＜0
∴b_n·b_n+2＜b_n+1²。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知｛an｝是正数组成的数列.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：