设数列{an}满足an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…， 当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； （Ⅱ

题文

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式；
（Ⅱ）当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，有
（ⅰ）a_n≥n+2；
（ⅱ）

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由

，得

；
由

，得

；
由

，得

；
由此猜想a_n的一个通项公式：

。
（Ⅱ）（ⅰ）用数学归纳法证明：
①当

，不等式成立；
②假设当n=k时不等式成立，即

，
那么，

，
也就是说，当n=k+1时，

，
根据①和②，对于所有n≥1，有

。
（ⅱ）由

及（ⅰ），对k≥2，
有



，
∴

，
于是

，


。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足an+1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：