数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且S9=135，a3，a4，a12成等比数列，求{an}的通项公式；是否存在正整数

题文

数列{a_n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S_n，且S₉=135，a₃，a₄，a₁₂成等比数列，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使

仍为数列{a_n}中的一项？若存在，求出满足要求的所有正整数m；若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d≠0，则

，
∴a₁+4d=15，①
又∵a₃，a₄，a₁₂成等比数列，
∴

，即（a₁+3d）²=（a₁+2d）（a₁+11d），
化简，得13d+7a₁=0，②
由①②，得d=7，a₁=-13，
∴a_n=a₁+（n-1）d=7n-20。
（Ⅱ）由于

，
∴

，
设

，则

，
即

，
又k，m均为正整数，故7必能被7m-13整除，
∴m=2，k=10，
∴存在唯一的正整数m=2。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“数列{an}是公差不为0的等.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：