已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{bn}满足b1=-1194且3bn-bn-1=n．

题文

（文）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=14且S_n=S_n-1+a_n-1+12，数列{b_n}满足b₁=-1194且3b_n-b_n-1=n（n≥2且n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（3）求{b_n}前n项和的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=S_n-1+a_n-1+12，得S_n-S_n-1=a_n-1+12，2a_n=2a _n-1+1，a_n-a _n-1+12…2分
∴a_n=a₁+（n-1）d=12n-14
（2）证明：∵3b_n-b_n-1=n，∴b_n=13b_n-1+13n，
∴b_n-a_n=13b_n-1+13n-12n+14=13b_n-1-16n+14=13（b_n-1-12n+34）；
b_n-1-a_n-1=b_n-1-12（n-1）+14=b_n-1-12n+34；
∴由上面两式得bn-anbn-1-an-1=13，又b₁-a₁=-1194-14=-30
∴数列{b_n-a_n}是以-30为首项，13为公比的等比数列．
（3）由（2）得b_n-a_n=-30×(13)n-1，
∴bn=an-30×(13)n-1=12n-14-30×(13)n-1，
b_n-b_n-1=12n-14-30×(13)n-1-12(n-1)+14+30×(13)n-2
=12+ 30×(13)n-2(1-13)
=12+ 20×(13)n-2＞0，∴{b_n}是递增数列
当n=1时，b₁=-1194＜0；当n=2时，b₂=34-10＜0；
当n=3时，b₃=54-103＜0；当n=4时，b₄=74-109＞0，
所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．
且S₃=14(1+3+5)-30-10-103=-41112．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：