等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=S2S1．求an与bn．

题文

等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=S2S1．
（1）求a_n与b_n．
（2）证明：13≤1S1+1S2+…+1Sn小于23． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知可得q+3+a2=12q=3+a2q．
解得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6
∴a_n=3+（n-1）3=3n
∴b_n=3^n-1
（2）证明：∵Sn=n(3+3n)2∴1Sn=2n(3+3n)=23(1n-1n+1)
∴1S1+1S2+…+1Sn
=23(1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)
=23(1-1n+1)
∵n≥1∴0＜1n+1≤12∴13≤23(1-1n+1)＜23
故13≤1S1+1S2+…+1Sn＜23．

解析

q+3+a2=12q=3+a2q

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，a1=3，前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：