已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a4=45，a1+a5=14．求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；令bn=1

题文

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₄=45，a₁+a₅=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（Ⅱ）令b_n=1a2n-1（n∈N^*），若数列{c_n}满足c₁=-14，c_n+1-c_n=b_n（n∈N^*）．求数列{c_n}的通项公式c_n；
（Ⅲ）求f（n）=n9-bncn（n∈N^*）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题10分）
（Ⅰ）因为数列{a_n}是等差数列，
所以a₁+a₅=a₂+a₄=14．
因为d＞0，a₂•a₄=45
所以解方程组可得，a₂=5，a₄=9．（2分）
所以a₁=3，d=2．
所以a_n=2n+1．
因为S_n=na₁+12n（n-1）d，
所以S_n=n²+2n．
数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1，前n项和公式S_n=n²+2n．（4分）
（Ⅱ）因为b_n=1a2n-1（n∈N^*），a_n=2n+1，
所以b_n=14n(n+1)．
因为数列{c_n}满足c₁=-14，c_n+1-c_n=14n(n-1)，
所以c_n+1-c_n=14（1n-1n+1）．
c_n-c_n+1=14（1n+1-1n）
…
c₂-c₁=14（1-12）
以上各式相加得：c_n+1-c₁=14（1-1n+1）=n4(n+1)．
因为c₁=14，
所以cn+1=-14(n+1)．
所以cn=-14n．（7分）
（Ⅲ）因为f（n）=n9-bncn，b_n=14n(n+1)，c_n=-14n，
所以f（n）=n9+1n+1．
因为f（n）=n9+1n+1=n+19+1n+1-19，
所以n+19+1n+1-19≥2n+19•1n+1-19
f（n）≥23-19=59，当且仅当n+19=1n+1，即n=2时等号成立．
当n=2时，f（n）最小值为59．（10分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：