已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=，n∈N*．求{an}的通项公式；设数列{bn}满足an(2

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足an(2bn-1)=1，并记T_n为{b_n}的前n项和，求证：3T_n+1＞log₂（a_n+3），n∈N^*． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a1=S1=16(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或a₁=2，由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=16(an+1+1)(an+1+2)-16(an+1)(an+2)，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，因a_n＞0，故a_n+1=-a_n不成立，舍去
因此a_n+1-a_n=3，从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{a_n}的通项为a_n=3n-1
证明：由an(2bn-1)=1可解得bn=log2(1+1a2)=log23n3n-1；
从而Tn=b1+b2++bn=log2(32•65••3n3n-1)
因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(32•65••3n3n-1)3•23n+2
令f(n)=(32•65••3n3n-1)3•23n+2，则f(n+1)f(n)=3n+23n+5•(3n+33n+2)3=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2
因（3n+3）³-（3n+5）（3n+2）²=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）
特别地f(n)≥f(1)=2720＞1，从而3T_n+1-log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0、
即3T_n+1＞log₂（a_n+3）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：