已知函数f=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且y=f的图象经过点，n=1，2，…，数列{an}为等差数列．（

题文

已知函数f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且y=f（x）的图象经过点（1，n²），n=1，2，…，数列{a_n}为等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n为奇数时，设g(x)=12[f(x)-f(-x)]，是否存在自然数m和M，使得不等式m＜12＜M恒成立？若存在，求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意得f（1）=n²，即a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²
令n=1，则a₀+a₁=1，
令n=2则a₀+a₁+a₂=2²，
a₂=4-（a₀+a₁）=3
令n=3则a₀+a₁+a₂+a₃=3²
a₃=9-（a₀+a₁+a₂）=5
设等差数列{a_n}的公差为d，则d=a₃-a₂=2，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（II）由（I）知：f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ
n为奇数时，f（-x）=-a₁x+a₂x²-a₃x³+…-a_nxⁿ
∴g（x）=12[f（x）-f（-x）=a₁x+a₃x³+a₅x⁵…+a_nxⁿ
g（12）=1×12+5×(12)3+9×(12)5+…+(2n-1)×(12)n①
14g(12)=1× (12)3 +5×(12)5+…+(2n-1)×(12)n+2②
由①-②得：34×g(12)=412(1-12n+1)1-14-（2n-1）×(12)n+2-32
∴g（12）=149-139× (12)n-2n3(12)n＜149
设cn=2n3(12)n
∵cn+1-cn=13(1-n)×(12)n≤0
∴c_n随n的增大而减小，又139×(12)n随n的增大而减小
∴g（12）为n的增函数，
当n=1时，g（12）=12
而g（12）＜149
∴12≤g(12)＜149
易知：使m＜g(12)＜M恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2，
∴M-m的最小值为2．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a0+a1x+a2x2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：