已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2，且a1，a3，a11成等比数列，则数列{an}的通项为______．

题文

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₁，a₃，a₁₁成等比数列，则数列{a_n}的通项为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵6S_n=a_n²+3a_n+2，①
∴6S_n+1=a_n+1²+3a_n+1+2，②
②-①得到6a_n+1=a_n+1²+3a_n+1-a_n^2-3a_n
∴3（a_n+1+a_n）=（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）
∵正项数列{a_n}，
∴a_n+1-a_n=3或a_n+1+a_n=0
∴数列是一个公差为3的等差数列，
∵6a₁=a₁²+3a₁+2
∴a₁=1或2，
∵a₁，a₃，a₁₁成等比数列
∴当a₁=1时，1，7，31不成等比数列，
首项等于2时，2，8，32成等比数列，
∴首项等于2，
∴数列的通项是a_n=3n-1
故答案为：a_n=3n-1

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：