已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+12bn=1．求数列{an}的通项公式；求证：数列{bn}是

题文

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+12b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设a_n的公差为d，则：a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d，
∵a₂=6，a₅=18，∴a1+d=6a1+4d=18，∴a₁=2，d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）当n=1时，b₁=T₁，由T1+12b1=1，得b1=23．
当n≥2时，∵Tn=1-12bn，Tn-1=1-12bn-1，
∴Tn-Tn-1=12(bn-1-bn)，即bn=12(bn-1-bn)
∴bn=13bn-1．
b_n是以23为首项，13为公比的等比数列．
（3）由（2）可知：bn=23•(13)n-1=2•(13)n．
∴cn=an•bn=(4n-2)•2•(13) n=(8n-4)•(13)n．
S_n=c₁+c₂+…c_n-1+c_n=4×13+12×(13)2+…+(8n-12)×(13)n-1+(8n-4)×(13)n
∴．13Sn=4×(13)2+12×(13)3+…+(8n-12)×(13)n+(8n-4)×(13)n+1
∴Sn-13Sn=23Sn=4×13+8×(13)2+8×(13)3+…+8×(13)n-(8n-4)×(13)n+1
=43+8×(13)2•[1-(13)n-1]1-13-(8n-4)×(13)n+1
=83-4×(13)n-(8n-4)×(13)n+1
∴Sn=4-4(n+1)•(13)n

解析

a1+d=6a1+4d=18

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，a2=6，a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：