设函数y=f定义域为R，当x＜0时，f＞1，且对于任意的x，y∈R，有f=f•f成立．数列{an}满足a1=f，且f(a

题文

设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{a_n}满足a₁=f（0），且 f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)．
（Ⅰ） 求f（0）的值；
（Ⅱ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ） 是否存在正数k，使(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥k2n+1对一切n∈N^*均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，
且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．
∴令x=-1，y=0，
得f（-1）=f（-1）•f（0），
得f（0）=1．（3分）
（Ⅱ）由f(an+1)=1f(-2-an)，得f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1，
∴f（a_n+1-a_n-2）=f（0），
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2（n∈N^*）．
∴{a_n}是等差数列，其首项为1，公差为d=2，
∴a_n=2n-1（8分）
（Ⅲ）存在正数k，使(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥k2n+1成立．
记F(n)=(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)2n+1，
则F(n+1)F(n)=2(n+1)4(n+1)2-1＞1，
∴F（n）单调递增，
∴F（1）为F（n）的最小值，
由F（n）≥k恒成立知k≤233，
∴k的最大值为233．（14分）

解析

1f(-2-an)

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：