设数列{an}的前n项和为Sn，如果SnS2n为常数，则称数列{an}为“科比数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为零，若{bn}为“科比数列”

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，如果SnS2n为常数，则称数列{a_n}为“科比数列”．
（Ⅰ）已知等差数列{b_n}的首项为1，公差不为零，若{b_n}为“科比数列”，求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，若c₁³+c₂³+c₃³+…+c_n³=S_n²对任意n∈N^*都成立，试推断数列{c_n}是否为“科比数列”？并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{b_n}的公差为d（d≠0），SnS2n=k，因为b₁=1，则n+12n(n-1)d=k[2n+12•2n(2n-1)d]，即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
因为对任意正整数n上式恒成立，则d(4k-1)=0(2k-1)(2-d)=0，解得d=2k=14．
故数列{b_n}的通项公式是b_n=2n-1．
（Ⅱ）由已知，当n=1时，c₁³=S₁²=c₁²．因为c₁＞0，所以c₁=1．
当n≥2时，c₁³+c₂³+c₃³++c_n³=S_n²，c₁³+c₂³+c₃³++c_n-1³=S_n-1²．
两式相减，得c_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=c_n•（S_n+S_n-1）．
因为c_n＞0，所以c_n²=S_n+S_n-1=2S_n-c_n．
显然c₁=1适合上式，所以当n≥2时，c_n-1²=2S_n-1-c_n-1．
于是c_n²-c_n-1²=2（S_n-S_n-1）-c_n+c_n-1=2c_n-c_n+c_n-1=c_n+c_n-1．
因为c_n+c_n-1＞0，则c_n-c_n-1=1，所以数列{c_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以SnS2n=n(n+1)2n(2n+1)=n+14n+2不为常数，故数列{c_n}不是“科比数列”．

解析

SnS2n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，如果Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：