已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13．求an及Sn；令bn=4a2n-1，求数列{bn}的前n项

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₅=35，a₅和a₇的等差中项为13．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令bn=4a2n-1（n∈N^﹡），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 设等差数列{a_n}的公差为d，
因为S₅=5a₃=35，a₅+a₇=26，
所以a1+2d=72a1+10d=26，…（2分）
解得a₁=3，d=2，…（4分）
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+n(n-1)2×2=n₂+2n．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
所以b_n=4a2n-1=1n(n+1)…（8分）
=1n-1n+1，…（10分）
所以T_n=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1．…（12分）

解析

a1+2d=72a1+10d=26

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：