已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前 n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=1an•an+1，Tn为数列{

题文

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前 n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=1an•an+1，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8-(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁，
在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得a12=S1a22=S3，即a12=a1(a1+d)2=3a1+3d，（4分）
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）bn=1an•an+1=12（12n-1-12n+1），
∴T_n=12（1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=n2n+1．
（3）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜(n+8)(2n+1)n=2n+8n+17恒成立．
∵2n+8n≥8，当且仅当n=2时取“=”，
∴λ＜25（8分）
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式
λ＜(n-8)(2n+1)n=2n-8n-15恒成立．
∵2n-8n随n增大而增大，
∴n=1时，2n-8n取得最小值-6．
∴λ＜-21．（10分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．

解析

a12=S1a22=S3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是各项均不为0的等差数列.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：