已知点是函数f=ax，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f-c，数列{bn}的首项为c，且前n项

题文

已知点（1，13）是函数f（x）=a^x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=Sn+Sn-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{1bnbn+1}前n项和为T_n，问T_n＞10002009的最小正整数n是多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知f（1）=a=13，∴f（x）=(13)x，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c=(13)-nc，
∴a₁=f（1）=13-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-29，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-227
数列{a_n}是等比数列，应有a2a1=a3a2=q，解得c=1，q=13．
∴首项a₁=f（1）=13-c=-23
∴等比数列{a_n}的通项公式为an=(-23) (13)n-1=-2(13)n．
（2）∵S_n-S_n-1=( Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=Sn+Sn-1（n≥2）
又b_n＞0，Sn＞0，∴Sn-Sn-1=1；
∴数列{ Sn}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴Sn=1+（n-1）×1=n                
∴S_n=n²
 当n=1时，b₁=S₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又n=1时也适合上式，
∴{b_n}的通项公式b_n=2n-1．
（2）1bnbn+1=1(2n-1)×(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
∴Tn=12[(1-13)+(13-15)+(15-17)+…+(12n-1-12n+1)]
=12(1-12n+1)=n2n+1
由Tn＞10002009，得n2n+1＞10002009，n＞10009，
故满足Tn＞10002009的最小正整数为112．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知点（1，13）是函数f（x）=ax（.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：