已知a1=1数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-Sn=0求an令bn=1an，求{bn}的前n项和Tn．

题文

已知a₁=1数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0
（1）求a_n
（ 2 ）令bn=1an，求{bn}的前n项和Tn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵nS_n+1-（n+3）S_n=0，即na_n+1=3S_n①
∴（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）②
①-②得na_n+1=（n+2）a_n（n≥2）
∴a_n=n+1n-1×nn-2×n-1n-3×…×64×53×42×31
=n(n+1)2（n≥2），
a₁=1也适合上式，
∴a_n=n(n+1)2（n∈N^*）．
（2）b_n=1an=2n(n+1)=2（1n-1n+1），
∴T_n=2（1-12+12-13+…+1n-1n+1）
=2nn+1．

解析

n+1n-1

考点

据考高分专家说，试题“已知a1=1数列{an}的前n项和Sn满.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：