设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2．求数列{an}的通项公式；设bn=1an•an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

设正数数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=14(an+1)2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=1an•an+1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=14(a1+1)2，
∴a₁=1．（2分）
∵Sn=14(an+1)2，①
∴Sn-1=14(an-1+1)2（n≥2）．②
①-②，得an=Sn-Sn-1=14(an+1)2-14(an-1+1)2，
整理得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，（5分）
∵a_n＞0
∴a_n+a_n-1＞0．
∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2（n≥2）．（7分）
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n-1．（9分）
（Ⅱ）∵bn=1an•an+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，（11分）
∴T_n=b₁+b₂+b_n=12(1-13)+12(13-15)++12(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1． （14分）

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：