设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22-10．求{an}的通项公式；设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项，以

题文

设{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=2，a3=a22-10．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是以函数y=4sin²πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
则a1=2a1+2d=(a1+d)2-10，
解得d=2或d=-4（舍），
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵y=4sin²πx=4×1-cos2πx2=-2cos2πx+2，
其最小正周期为2π2π=1，
故首项为1，
∵公比q=3，∴bn=3n-1，
∴a_n-b_n=2n-3^n-1，
∴Sn=(2-30)+(4-31)+…+(2n-3n-1)
=(2+2n)n2-1-3n1-3
=n²+n+12-12•3ⁿ．

解析

a1=2a1+2d=(a1+d)2-10

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是公差大于零的等差数列，已知a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：