数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0记bn=1an-12(n≥1)求b1，b2，b3，b4的值．求

题文

（理）数列{a_n}满足a₁=1 且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）记bn=1an-12(n≥1)
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（2）求{b_n}、{a_nb_n}的通项公式．
（3）求{a_nb_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由bn=1an-12得an=1bn+12，
代入8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1），得8（1bn+1+12）（1bn+12）-16（1bn+1+12）+2（1bn+12）+5=0，
化简得b_n+1=2b_n-43，则b_n+1-43=2（bn-43），
所以{bn-43}为等比数列，其公比为2，首项为b1-43=1a1-12-43=23，
所以bn-43=23•2^n-1=2n3，
所以b_n=2n3+43，
所以b₁=23+43=2，b₂=223+43=83，b3=233+43=4，b4=243+43=203；
（2）由（1）求解过程可知b_n=2n3+43，
则an=1bn+12=32n+4+12，
所以a_nb_n=（32n+4+12）（2n3+43）=1+2n-1+23=53+2n-13；
（3）S_n=（53+13）+（53+23）+…+（53+2n-13）=53n+13(1-2n)1-2=53n+2n-13．

解析

1an-12

考点

据考高分专家说，试题“（理）数列{an}满足a1=1且8an+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：