已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，在数列{bn}中，b1=1，点P在直线x-y+2=0上．求数列{an}

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），在数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=2a_n-2得：S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，即anan-1=2（n≥2），
又a₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ．
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
∴数列{b_n}是等差数列，
∵b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（2）T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：-T_n=1×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×4(1-2n-1)1-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×2ⁿ⁺¹-8-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=（3-2n）2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：